Question

已知數列{a_n}，
（1）a₁=1，a_n=a_n-1+2n-1（n≥2），則a_n=

 

（2）若a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n，則a_n=

 

（3）若a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2），則a_n=

 

（4）若前n項和S_n=3n²+n+1，則a_n=

 

（5）若a₁=

1

2

，S_n=n²a_n，則a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）采用疊加法求數列的通項公式．
（2）采用疊乘法求數列的通項公式．
（3）采用構造新數列法求數列的通項公式．
（4）采用前n項和法求數列的通項公式．
（5）采用前n項和與疊乘法求數列的通項公式．

解答： 解：（1）a₁=1，a_n=a_n-1+2n-1（n≥2），
則：a_n-a_n-1=2n-1
a_n-1-a_n-2=2（n-1）-1
…
a₂-a₁=2•2-1
所以：a_n-a₁=2（2+3+…+n）-n
an=2•

n(n+1)

2

-2-n+1
整理得：an=n2-1
（2）a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n，
則：

an

an-1

=

n-1

n

an-1

an-2

=

n-2

n-1

…

a2

a1

=

1

2

所以：

an

a1

=

1

n

解得：an=

1

n

（3）a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2），
則：

an+1

an-1+1

=2，所以數列{a_n+1}是以a₁+1為首項，公比為2的等比數列．
an+1=(a1+1)2n-1
則：an=2n-1當n=1時符合此通項公式
所以：an=2n-1
（4）數列前n項和S_n=3n²+n+1，
則：Sn-1=3(n-1)2+(n-1)+1（n≥2）
a_n=S_n-S_n-1=6n-2
a₁=5，不符合此通項公式，
所以：an=

5(n=1) 6n-2(n≥2)

（5）a₁=

1

2

，S_n=n²a_n，①
則Sn-1=(n-1)2an-1②
①-②得：

an

an-1

=

n-1

n+1

則：采用（2）的方法
即得：an=

1

n(n+1)

點評：本題考查的知識要點：利用疊加和疊乘法，前n項和法求數列的通項公式，屬于基礎題型．