Question

在平面直角坐標系中，以原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，直線l的方程為

x= 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t為參數(shù)），直線l與曲線C的公共點為T．
（Ⅰ）求點T的極坐標；
（Ⅱ）過點T做直線l′，l′被曲線C截得的線段長為2，求直線l′的直角坐標方程．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（I）曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ化為ρ²=4ρsinθ，直角坐標方程為：x²+y²=4y．直線l的方程為

x= 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t為參數(shù)），化為y+2=

3

x，聯(lián)立解得再化為極坐標即可．
（II）直線l′的斜率不存在時：圓心C（0，2）到直線的距離d=

3

，弦長=2

4-3

=2，滿足題意．當直線l′的斜率不存在時：設l′：y-1=k（x-

3

），利用點到直線的距離公式可得圓心C（0，2）到直線的距離d，解得k．即可得出．

解答： 解：（I）曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ化為ρ²=4ρsinθ，∴直角坐標方程為：x²+y²=4y．
直線l的方程為

x= 1 2 t y=-2+ 3 2 t

（t為參數(shù)），化為y+2=

3

x，
聯(lián)立

y+2= 3 x x2+y2=4y

，化為x2-2

3

x+3=0，解得x=

3

，y=1．
∴T(

3

，1)．
∴ρ=

x2+y2

=2，tanθ=

y

x

=

3

3

，解得θ=

π

6

．
直線l與曲線C的公共點為T(2，

π

6

)．
（II）直線l′的斜率不存在時：圓心C（0，2）到直線的距離d=

3

，弦長=2

4-3

=2，滿足題意．
當直線l′的斜率不存在時：設l′：y-1=k（x-

3

），
圓心C（0，2）到直線的距離d=

|-2- 3 k+1|

k2+1

=

4-1

，
解得k=

3

3

．
∴方程為y-1=

3

3

(x-

3

)，化為y=

3

3

x．
綜上可得：直線l′的直角坐標方程為：y=

3

3

x或x=

3

．

點評：本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線與圓的相交弦長問題、點到直線的距離公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．