Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，滿足S_n=2ⁿ⁺¹-2，數列b_n=log₂a_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列c_n=

1

bnbn+1

，求數列{c_n}的前項和 T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）根據數列的遞推關系即可求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法即可求數列{b_n}的前 n項和為 T_n．

解答： 解：（Ⅰ）當n≥2時，則a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ+2=2ⁿ，
當n=1時，a₁=S₁=2²-2=4-2=2，滿足a_n=2ⁿ，
故數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ；
則b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n．
（Ⅱ）c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
則數列{c_n}的前項和 T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式、等比數列的通項公式、裂項相消法求數列的前n項和，考查運算求解能力和函數與方程思想．