Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a，a∈R
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得2^x-1≠0，從而求函數(shù)的定義域；
（2）由f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）+f（x）=

1

2x-1

+a+

1

2-x-1

+a=0；從而解得．

解答： 解：（1）由題意，2^x-1≠0，
解得，x≠0；
故函數(shù)的定義域為{x|x≠0}；
（2）若使f（x）為奇函數(shù)，
則f（-x）+f（x）=

1

2x-1

+a+

1

2-x-1

+a=0；
即2a=-（

1

2x-1

+

1

2-x-1

）=-

1-2x

2x-1

=1；
則a=

1

2

；
故f（x）=

1

2x-1

+

1

2

．
經(jīng)檢驗，f（x）=

1

2x-1

+

1

2

時成立．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域的解法及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．