Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E，F，且EF=

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，現有下列結論：
①AC⊥BE；
②平面AEF與平面ABCD的交線平行于直線EF；
③異面直線AE，BF所成的角為定值；
④三棱錐A-BEF的體積為定值，其中錯誤結論的個數是（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：①AC⊥BE，可由線面垂直證兩線垂直；
②由面面平行的定義可證得平面AEF與平面ABCD的交線平行于直線EF；
③異面直線AE、BF所成的角為定值，可由兩個極好位置說明兩異面直線所成的角不是定值．
④三棱錐A-BEF的體積為定值，可證明棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值；

解答： 解：①AC⊥BE，由題意及圖形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命題正確；
②平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD，設平面AEF∩平面ABCD=l，平面AEF∩A₁B₁C₁D₁=EF，故l∥EF，此命題正確；
③異面直線AE、BF所成的角為定值，由圖知，當F與B1重合時，令上底面頂點為O，則此時兩異面直線所成的角是∠A₁AO，當E與D₁重合時，此時點F與O重合，則兩異面直線所成的角是OBC1，此二角不相等，故異面直線AE、BF所成的角不為定值．
④三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD₁B₁B距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，此命題正確；
綜上知③錯誤，
故錯誤結論的個數是1個，
故選：B

點評：本題考查棱柱的結構特征，解答本題關鍵是正確理解正方體的幾何性質，且能根據這些幾何特征，對其中的點線面和位置關系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的知識保證．