Question

【題目】

如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，．

（1）若點，分別為，的中點，求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在一點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）四邊形ADD1A1為正方形，連接AD1，設A1D∩AD1＝F，則F是AD1的中點，

又點E為AB的中點，連接EF，則EF為△ABD1的中位線，所以EF∥BD1．

又BD1平面A1DE，EF平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE．（3分）

因為BH//DE，且DE平面A1DE，BH平面A1DE，所以BH∥平面A1DE，

又BD1BH=B，所以平面平面．（5分）

（2）根據題意，得DD1⊥DA，D1D⊥DC，AD⊥DC，則以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)．（7分）

假設滿足條件的點E存在，且點E的縱坐標為，則E(1，，0)(0≤≤2)，

＝(－1，2－，0)，＝(0，2，－1)，

設＝(x1，y1，z1)是平面D1EC的法向量，則，即，

令＝1，則平面D1EC的一個法向量為＝(2－，1，2)．（9分）

由題意，知平面DEC的一個法向量為＝(0，0，1)．（10分）

由二面角的大小為，得＝＝＝，

解得＝[0，2]．

所以在線段上不存在一點，使二面角的大小為．（12分）