Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面是正方形，側面底面，，，是的中點，點在上，且.

（1）求證：；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）過作于，連結，根據，，是的中點，利用平面幾何的知識，得到，再結合，即，得到，利用線面垂直的判定定理得到面即可.

（2）由（1）知，平面，將點到平面的距離轉化為點到平面的距離，根據側面底面，得到側面，設點到平面的距離為，利用等體積法由求解.

（1）如圖所示：

過作于，連結，

因為，，是的中點，

所以，

所以，

∵底面是正方形，，即，

∴是矩形，

∴，

又，，

∴面，

又∵面，

∴.

（2）由（1）知，平面，

∴點到平面的距離等于點到平面的距離，

∵底面是正方形，側面底面，

∴側面，

∴，

在三棱錐中，設點到平面的距離為，

由于，

∴，

在側面中，，，是中點，

∴，，

∴，

∴，

即點到平面的距離為.