Question

【題目】如圖，圓O是△ABC的外接圓，∠BAC的平分線交BC于點F，D是AF的延長線與⊙O的交點，AC的延線與⊙O的切線DE交于點E．

（1）求證： =
（2）若BD=3 ，EC=2，CA=6，求BF的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CD，則

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠EAD， = ，

∵DE是圓O的切線，

∴∠CDE=∠EAD=∠BAD．

∵∠DCE是四邊形ABCD的外角，

∴∠DCE=∠ABD，

∴△ABD∽△DCE，

∴ = ．

（2）解：∵ = ，BD=3 ，

∴BD=CD=3 ，∠CBD=∠BCD，

∵DE是圓O的切線，EC=2，CA=6，

∴∠CDE=∠CBD，DE2=ECEA=16，

∴DE=4，

∴∠CDE=∠BCD，

∴DE∥BC，

∴∠E=∠ACB=∠ADB，

∴△DCE∽△BFD，

∴ ，

∴BF= =

【解析】（1）連接CD，證明△ABD∽△DCE，即可證明： = （2）若BD=3 ，EC=2，CA=6，求出DE，證明△DCE∽△BFD，即可求BF的值．