Question

（12分）已知函數，是的一個極值點．
（1）求的單調遞增區間；
（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數的單調遞增區間為，. （Ⅱ）. 

解析試題分析：（I）先求導函數，然后根據x=2是f（x）的一個極值點建立等式關系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函數的單調增區間；
（II）先利用導數求出函數f（x）在區間[1，3]上的最小值，若當x∈[1，3]時，要使f(x)-a²＞
恒成立，只需f(x) _min＞a²+，即可求出a的范圍．
解：（Ⅰ）.    ∵是的一個極值點，
∴是方程的一個根，解得.  
令，則，解得或.
∴函數的單調遞增區間為，.
（Ⅱ）∵當時，時，
∴在（1，2）上單調遞減，在（2，3）上單調遞增.  
∴是在區間[1，3]上的最小值，且 . 
若當時，要使恒成立，只需，
即，解得 . 
考點：本題主要考查了函數的極值，單調性和在閉區間上的最值，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題
點評：解決該試題的關鍵是利用極值點處導數為零，那么得到參數b的值，然后求解二次不等式同時能將不等式的恒成立問題，轉換為求解函數的最小值大于參數問題。即f(x) _min＞a²+體現了轉換與化歸思想的和運用。