Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=

3

，BC=1，以A為圓心1為半徑的圓與AB交于E（圓弧DE為圓在矩形內的部分）
（1）在圓弧DE上確定P點的位置，使過P的切線l平分矩形ABCD的面積；
（2）若動圓M與滿足題（1）的切線l及邊DC都相切，試確定M的位置，使圓M為矩形內部面積最大的圓．

Answer 1

分析：（1）以A點為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系．設P（x₀，y₀）則B，C坐標可知，進而求得圓弧DE的方程和切線l的方程，設l與AB、CD交于F、G，則F，G的坐標可表示出，進而根據l平分矩形ABCD面積，可知求得x₀和y₀的關系式，同時與圓弧的方程聯立求得x₀和y₀的，則點P的坐標可得．
（2）根據（1）中切線的方程，當滿足題意的圓M面積最大時必與邊BC相切，設圓M與直線l、BC、DC分別切于R、Q、T，則MR=MT=MQ=r（r為圓M的半徑）．進而根據點到直線的距離求得求得r的值，進而求得點M的坐標．

解答：解：（1）以A點為坐標原點，
AB所在直線為x軸，建立直角坐標系．
設P（x₀，y₀），B(

3

，0)，D（0，1），
圓弧DE的方程x²+y²=1（x≥0，y≥0）
切線l的方程：x₀x+y₀y=1
設l與AB、CD交于F、G可求F（

1

x0

，0），G（

1-y0

x0

，1），
∵l平分矩形ABCD面積，
∴FB=GN?

3

-

1

x0

=

1-y0

x0

?

3

x0+y0-2=0①
又x₀²+y₀²=1②解①、②得：
x0=

3

2

，y0=

1

2

，∴P(

3

2

，

1

2

)；
（2）由題（Ⅰ）可知：切線l的方程：

3

x+y-2=0，
當滿足題意的圓M面積最大時必與邊BC相切，
設圓M與直線l、BC、DC分別切于R、Q、T，
則MR=MT=MQ=r（r為圓M的半徑）．∴M(

3

-r，1-r)，
由

| 3 ( 3 -r)+1-r-2|

3 2+12

=r?r=

3

+1（舍），r=

3- 3

3

．
∴M點坐標為(

4 3 -3

3

，

3

3

)．

點評：本題主要考查了直線與圓的綜合運用．考查了考生綜合運用所學知識的能力．