Question

【題目】如圖，在四校錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，邊長為4的正△PAD所在平面與平面ABCD垂直，點E是AD的中點，點Q是側棱PC的中點．

（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；

（2）求證：PA∥平面BDQ；

（3）在線段AB上是否存在點F，使直線PF與平面PAD所成的角為30°？若存在，求出AF的長，若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）16；（2）見解析；（3）存在，AF

【解析】

（1）根據底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，邊長為4，求面積，再由正△PAD所在平面與平面ABCD垂直，，得到平面ABCD，PE是底面上的高，然后代入體積公式求解.

（2）由O是AC中點，點Q是側棱PC的中點，根據中位線得到OQ∥PA，再利用線面平行的判定理證明.

（3）建立空間直角坐標系，設在線段AB上存在點F，且，求得相應點的坐標，進而得到向量的坐標，再利用直線PF與平面PAD所成的角為30°，代入線面角的向量法公式求解.

（1）

如圖所示：連結PE，BE，

∵在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，邊長為4，

∴S四邊形ABCD＝AD×BE＝48，

又因為正△PAD所在平面與平面ABCD垂直，

所以平面ABCD，

又PE2，

∴四棱錐P﹣ABCD的體積：VP﹣ABCD16．

（2）證明：連結AC，BD，交于點O，連結OQ，

∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中點，

∵點Q是側棱PC的中點，

∴OQ∥PA，∵PA平面BDQ，OQ平面BDQ，

∴PA∥平面BDQ．

（3）以E為原點，EA為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標系，

A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），

設在線段AB上存在點F，使直線PF與平面PAD所成的角為30°，

且F（a，b，c），，即（a﹣2，b，c）＝（﹣2λ，2，0），λ∈[0，1]，

即a＝2﹣2λ，b＝2λ，c＝0，∴F（2﹣2λ，2，0），

因為平面PAD的法向量（0，1，0），

（2﹣2，﹣2），且直線PF與平面PAD所成的角為30°，

∴sin30°，

解得，符合λ∈[0，1]，

∴AF＝λAB．

∴在線段AB上存在點F，使直線PF與平面PAD所成的角為30°，且AF．