Question

【題目】設(shè)函數(shù)，的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行．

（1）求的值；

（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意知，曲線y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3，求導(dǎo)數(shù)，代入計(jì)算，即可得出結(jié)論；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

試題解析：

（1）由題意知，曲線的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為3，

所以，又， 即，所以．

（2）由（1）知，

所以，

①若在區(qū)間（0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，則在（0，+∞）上恒成立，

即，所以．

令，則，

由，得，由，得，

故在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)， 則，無最大值，在（0，+∞）上不恒成立， 故在（0，+∞）不可能是單調(diào)減函數(shù)

②若在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，則在（0，+∞）上恒成立，

即，所以， 由前面推理知，的最小值為，∴，

故a的取值范圍是.