Question

設(shè)a＞0,函數(shù)f(x)=,b為常數(shù).
（1）證明：函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)各有一個(gè)；
（2）若函數(shù)f(x）的極大值為1，極小值為-1，試求a的值.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析（2）a=2

（1）f′(x)=,
令f′(x)=0,得ax²+2bx-a="0                             " (*)
∵Δ=4b²+4a²＞0,
∴方程（*)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，記為x₁,x₂(x₁＜x₂),
則f′(x)=,
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x）與f(x）的變化情況如下表：

x	(-∞,x1)	x1	(x1 ,x2)	x2	(x2 ,+ ∞)
	-	0	+	0	-
f (x)		極小植		極大值

?可見(jiàn)，f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)各有一個(gè).
（2） 由（1）得
即
兩式相加，得a(x₁+x₂)+2b=x-x.
∵x₁+x₂=-,∴x-x=0,
即(x₂+x₁)(x₂-x₁)=0,
又x₁＜x₂,∴x₁+x₂=0,從而b=0,
∴a（x²-1）=0，得x₁=-1,x₂=1,
由②得a=2.