Question

（本題滿分13分）

         已知函數

   （1）若，求曲線處的切線；

   （2）若函數在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；

   （3）設函數上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（1）當時，

         函數

        

         曲線在點處的切線的斜率為

          1分

         從而曲線在點處的切線方程為

        

         即

   （2） 3分

         令，要使在定義域（0，∞）內是增函       

         只需在（0，+∞）內恒成立    4分

         由題意的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為

         ，

        

         只需時，

        

         在（0，+∞）內為增函數，正實數的取值范圍是   6分

   （3）上是減函數，

         時，

        

         ，

         即   1分

         ①當時，

         其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在車的左側，

         且，所以內是減函數。

         當時，在

         因為，

         所以

         此時，內是減函數。

         故當時，上單調遞減

         ，不合題意；

         ②當時，由

         所以

         又由（2）知當時，上是增函數，

         ，不合題意；   11分

         ③當時，由（2）知上是增函數，

        

         又上是減函數，

         故只需

         而

         即

         解得，

         所以實數的取值范圍是。  13分

         注：另有其它解法，請酌情給分。