Question

【題目】如圖，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點(diǎn)，∠F1AF2＝60°.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率；

(Ⅱ)已知△AF1B的面積為，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)

【解析】試題分析 ：(Ⅰ)由題意可知 為等邊三角形；

(Ⅱ)法一：先求AB的方程為，代入橢圓方程解得

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試題解析：(Ⅰ)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝＝.

(Ⅱ)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直線AB的方程為y＝－ (x－c)．

將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，

得B.又A(0， c)，所以|AB|＝＝c.

由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，c＝5，

則b2＝75，即b＝5.所以橢圓C的方程為：＋＝1. …………4分

法二：設(shè)|AB|＝t.因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.

由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a，可知|BF1|＝3a－t.

再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°，可得t＝a.

由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·a·＝a2＝40，

解得a＝10，則c＝5，b＝5.所以橢圓C的方程為：＋＝1. ………………10分