Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，2），頂點(diǎn)B在直線l₁：y=

1

2

x上，頂點(diǎn)C在直線l₂：y=2x上，則△ABC周長的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：設(shè)A（2，2）關(guān)于l₁和l₂的對(duì)稱點(diǎn)分別為A′和A″，△ABC周長的最小值即為A′A″之間的距離，由對(duì)稱性解方程組可得點(diǎn)的坐標(biāo)，由距離公式可得．

解答： 解：設(shè)A（2，2）關(guān)于l₁和l₂的對(duì)稱點(diǎn)分別為A′（a，b），A″（c，d），
由題意和對(duì)稱性可知△ABC周長的最小值即為A′A″之間的距離，
由對(duì)稱性可得

b+2 2 = 1 2 • a+2 2 b-2 a-2 • 1 2 =-1

，

d+2 2 =2× c+2 2 d-2 c-2 •2=-1

，
分別解方程組可得

a= 14 5 b= 2 5

，

c= 2 5 d= 14 5

，即A′（

14

5

，

2

5

），A″（

2

5

，

14

5

），
由兩點(diǎn)間的距離公式可得A′A″=

( 14 5 - 2 5 )2+( 2 5 - 14 5 )2

=

12 2

5

故答案為：

12 2

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，涉及對(duì)稱性和方程組的解法，屬基礎(chǔ)題．