Question

【題目】已知點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)， ，直線、的斜率之積為．

（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；；

（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（I）設(shè)點(diǎn)，由,整理得可得.

（II）設(shè)點(diǎn)，取MN的中點(diǎn)H，則，則可轉(zhuǎn)化為,聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理建立關(guān)于斜率k的方程，求解即可.

試題解析：（I）設(shè)點(diǎn)，則

整理得：

故曲線的軌跡方程為：

.

（II）假設(shè)存在直線滿足題意．

顯然當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與橢圓不相交．

①當(dāng)直線的斜率時(shí)，設(shè)直線為：

聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：

由，解得

設(shè)點(diǎn)，，則

取的中點(diǎn)，則，則

即 ，化簡(jiǎn)得，無(wú)實(shí)數(shù)解，故舍去．

②當(dāng)時(shí)， 為橢圓的左右頂點(diǎn)，顯然滿足，此時(shí)直線的方程為．

綜上可知，存在直線滿足題意，此時(shí)直線的方程為．