【題目】已知函數
．
當
時，求函數
的單調區間和極值；
若
在
上是單調函數，求實數a的取值范圍．
【答案】（1）函數
的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
，極小值是
；（2）
【解析】
求出函數的導數，得到導數在
時為零
然后列表討論函數在區間和上討論函數的單調性，即可得到函數的單調區間和極值；
在
上是單調函數，說明
的導數
在區間恒大于等于0，或在區間恒小于等于
然后分兩種情況加以討論，最后綜合可得實數a的取值范圍．
易知，函數的定義域為
當
時，
當x變化時，
和的值的變化情況如下表：
x |
| 1 |
|
|
| 0 |
|
| 遞減 | 極小值 | 遞增 |
由上表可知，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，極小值是
由
，得
又函數為上單調函數，
若函數為上的單調增函數，
則
在上恒成立，
即不等式
在上恒成立．
也即
在上恒成立，
而
在上的最大值為
，所以
若函數為上的單調減函數，
根據，在上
，
沒有最小值
所以
在上是不可能恒成立的
綜上，a的取值范圍為
初中學業考試導與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在正方體
中，E是棱
的中點，F是側面內
的動點，且
平面
，給出下列命題：
點F的軌跡是一條線段；
與
不可能平行；
與BE是異面直線；
平面
不可能與平面
平行．
其中正確的個數是
A. 0B. 1C. 2D. 3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點P為曲線C上任意一點， 
，直線
、
的斜率之積為
．
（Ⅰ）求曲線
的軌跡方程；；
（Ⅱ）是否存在過點
的直線
與橢圓
交于不同的兩點
、
，使得
？若存在，求出直線
的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，以
軸為始邊做兩個銳角
，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為
（1）求
的值； （2）求
的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，AE垂直于平面
，
，
，點F為平面ABC內一點，記直線EF與平面BCE所成角為
，直線EF與平面ABC所成角為
．
Ⅰ
求證：
平面ACE；
Ⅱ若
，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
、
分別為雙曲線
的左右焦點，左右頂點為
、
，
是雙曲線上任意一點，則分別以線段
、
為直徑的兩圓的位置關系為（ ）
A. 相交B. 相切C. 相離D. 以上情況均有可能
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）在圓內直徑所對的圓周角是直角.此定理在橢圓內（以焦點在
軸上的標準形式為例）可表述為“過橢圓
的中心
的直線交橢圓于
兩點，點
是橢圓上異于的任意一點，當直線
，
斜率存在時，它們之積為定值.”試求此定值；
（2）在圓內垂直于弦的直徑平分弦.類比（1）將此定理推廣至橢圓，不要求證明.
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