Question

【題目】已知：以點為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點．

(1)求證：△OAB的面積為定值； (2)設直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出半徑，寫出圓的方程，再解出、的坐標，表示出面積即可；（2）通過題意解出的方程，解出的值，直線與圓交于點， ，判斷是否符合要求，可得圓的方程.

試題解析：(1)證明：由題意知圓過原點， ，則圓的方程為，令，得， ；令，得， .∴，即的面積為定值．

(2)∵， ，∴垂直平分線段.∵，∴，∴直線的方程為，∵在直線上，∴，解得或，當時，圓心的坐標為， ，此時圓心到直線的距離，∴圓與直線相交于兩點；當時，圓心的坐標為， ，此時圓心到直線的距離，圓與直線不相交，∴不符合題意，應舍去．∴圓的方程為.