Question

【題目】已知函數（）.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數存在兩個極值點，，求證：.

Answer 1

【答案】(1) 當時,單調遞減；當時, 在與上單調遞減；在上單調遞增.

(2)證明見解析

【解析】

(1)求導得,再將看成關于的二次函數,根據判別式分析二次函數的零點在判斷的正負區間與的單調性即可.

(2)由(1)可設兩個極值點,再根據(1)中所得的單調區間,分別代入證明即可.

(1)因為,故.

設函數,令,則討論.

①當,即時, 恒成立,則,單調遞減.

②當,即時,令則兩根

,且,此時的兩根

.

故在與上, ,單調遞減；

在上, ,單調遞增.

綜上所述,當時,在上單調遞減；當時, 在與上單調遞減；在上單調遞增.

(2)由(1) 若函數存在兩個極值點,,即的兩根.不妨設.

①先證,即.由(1)可知, 在上, 單調遞增,故顯然成立.

②再證,即,

即證.

又,故,

即證,顯然成立.

故