Question

【題目】已知二次函數f（x）對任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=f（x）+m，（m∈R）． ①若存在實數a，b（a＜b），使得g（x）在區間[a，b]上為單調函數，且g（x）取值范圍也為[a，b]，求m的取值范圍；
②若函數g（x）的零點都是函數h（x）=f（f（x））+m的零點，求h（x）的所有零點．

Answer 1

【答案】
（1）解：設二次函數f（x）的解析式為f（x）=ax2+bx+c，

則f（x+2）﹣f（x）=a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）=4ax+4a+2b

由f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4得（4a+4）x+4a+2b﹣4=0恒成立，又f（0）=0

所以 ，所以 ，所以f（x）=﹣x2+4x

（2）解：g（x）=﹣x2+4x+m，對稱軸x=2，g（x）在區間[a，b]上單調，所以b≤2或a≥2

①1°當b≤2時，g（x）在區間[a，b]上單調增，所以 ，即a，b為g（x）=x的兩個根，

所以只要g（x）=x有小于等于2兩個不相等的實根即可，

所以x2﹣3x﹣m=0要滿足 ，得

2°當a≥2時，g（x）在區間[a，b]上單調減，所以 ，即

兩式相減得（b﹣a）（a+b﹣5）=0，因為b＞a，所以a+b﹣5=0，

所以m=a2﹣5a+5， ，得

綜上，m的取值范圍為

②（法一）設x0為g（x）的零點，則 ，即 ，

即﹣m2﹣4m+m=0，得m=0或m=﹣3

1°當m=0時，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）=﹣x（x﹣4）（x2﹣4x+4）

所以h（x）所有零點為0，2，4

2°當m=﹣3時，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）﹣3=﹣（﹣x2+4x﹣3）（﹣x2+4x﹣1）

（因為必有因式﹣x2+4x﹣3，所以容易分解因式）

由﹣x2+4x﹣3=0和﹣x2+4x﹣1=0得 ，

所以h（x）所有零點為

（法二）函數g（x）的零點都是函數h（x）的零點，

所以﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m中必有因式﹣x2+4x+m，

所以可設：﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t）

展開對應系數相等得 或 （下同法一）．

【解析】（1）設二次函數f（x）的解析式為f（x）=ax2+bx+c，利用待定系數法求解即可．（2）g（x）=﹣x2+4x+m，對稱軸x=2，g（x）在區間[a，b]上單調，b≤2或a≥2，①1°當b≤2時，2°當a≥2時，列出不等式組，求解m的取值范圍為 ；②（法一）設x0為g（x）的零點，則 ，求出m=0或m=﹣3，1°當m=0時，求出h（x）所有零點為0，2，4；2°當m=﹣3時，求出h（x）所有零點為 ；

（法二）函數g（x）的零點都是函數h（x）的零點，﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t），展開對應系數相等求解即可．

【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．