Question

【題目】定義：如果數列的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列，對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個“三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”，.

（1）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若是數列的“保三角形函數”，求的取值范圍；

（2）已知數列的首項為2010，是數列的前項和，且滿足，證明是“三角形”數列；

（3）根據“保三角形函數的定義，對函數，和數列1，提出一個正確的命題，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）求出的通項公式根據定義推出是三角形數列，再由的單調性及列出關于k的不等式求解即可；（2）由與的關系由所給等式求出的通項公式，利用指數函數的單調性推出數列的單調性，因此證明即可證明是“三角形”數列；（3）函數是數列1，的“保三角形函數”，列出此結論所需條件求出k的范圍.

（1）顯然對任意正整數都成立，

即是三角形數列且是遞增數列，

因為，函數單調遞增，所以，

由，得，，解得.

所以當時，是數列的“保三角形函數”；

（2）當時，由，得，

兩式相減，得，所以，，

又也滿足上式，所以.

顯然，因為，所以是“三角形”數列；

（3）探究過程：函數是數列1，的“保三角形函數”，必須滿足三個條件：

①1，是三角形數列，所以，即；

②數列中的各項必須在定義域內，即；

③是“三角形”數列.

由于是單調遞減函數，所以，化簡得，解得.