Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段圖象（如圖）所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）寫出這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數(shù)g（x）=f（x）+m的最小值為2，試求出函數(shù)g（x）的最大值并求出此時x的取值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由圖易知A=3，T=

2π

ω

=π，可求得ω=2，利用五點作圖法可知，2×（-

π

6

）+φ=0，可求得φ，于是可得函數(shù)的解析式；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ-

π

2

（k∈Z）即可求得函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

3

）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒（2x+

π

3

）∈[0，π]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質及最值即可求得m的值，繼而可求得函數(shù)g（x）的最大值及取得最大值時x的取值．

解答： 解：（1）由圖可知，A=3，T=

2π

ω

=

5π

6

-（-

π

6

）=π，故ω=2；
由五點作圖法可知，2×（-

π

6

）+φ=0，
所以，φ=

π

3

，滿足，|

π

3

|＜π，
所以f（x）=3sin（2x+

π

3

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ-

π

2

（k∈Z）得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
所以函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

3

）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）；
（3）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒（2x+

π

3

）∈[0，π]⇒f（x）=3sin（2x+

π

3

）∈[0，3]，
故g（x）=f（x）+m∈[m，m+3]，
因為x∈[-

π

6

，

π

3

]時，g（x）_min=2，所以m=2，
所以，g（x）_max=m+3=5，此時2x+

π

3

=

π

2

，x=

π

12

．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力．