Question

設函數（），其中．
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，求函數的極大值和極小值．

Answer 1

（Ⅰ）當時，曲線在點處的切線方程為；（Ⅱ）函數在處取得極小值，在處取得極大值．

試題分析：（Ⅰ）把代入，得，結合已知條件即可得切點的坐標為．再對求導，即可求得，即可得所求切線的斜率，最后利用直線方程的點斜式，即可得所求切線的方程；（Ⅱ）首先對求導，得．令，解得或．，列出當變化時，，隨的變化情況表格，即可求得當時，函數的極大值和極小值．
試題解析：（Ⅰ）當時，，得，           1分
且，．       3分
所以，曲線在點處的切線方程是，      5分
整理得．                                 6分
（Ⅱ）解：，．
令，解得或．                          8分
若，當變化時，的正負如下表：
因此，函數在處取得極小值，且；
函數在處取得極大值，且．                12分