Question

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）把曲線和直線化為直角坐標(biāo)方程；

（2）過原點(diǎn)引一條射線分別交曲線和直線于，兩點(diǎn)，射線上另有一點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程（寫成直角坐標(biāo)形式的普通方程）．

Answer 1

【答案】（1），；（2）（除去原點(diǎn)）．

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換．

（2）利用極徑的應(yīng)用建立等量關(guān)系，進(jìn)一步求出直角坐標(biāo)方程．

解：（1）由曲線的參數(shù)方程得：，

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．

又由，，

將極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，代入上式，得

直線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）在極坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，，，則

，，

由得，，即，

所以，

從而得，且，

轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為，

所以點(diǎn)的軌跡方程為（除去原點(diǎn)）．