Question

【題目】已知函數

（1）設，試討論的單調性；

（2）若函數在上有最大值，求實數a的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減；（2）

【解析】

（1）計算，，討論，兩種情況，計算得到答案.

（2）討論，，三種情況，求導得到函數單調區間，，由零點存在性定理，存在，使得，計算最值得到答案.

（1），令， ；

當時，，在上遞增，無減區間；

當時，令，則，令，則，

所以在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）由（1）可知，當時，在上遞增，，

在上遞增，無最大值，不合題意；

當時，，在上遞減，

故，在上遞減，無最大值，不合題意；

當時，，由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減；

設，則；

令，則；令，則，

在上單調遞減，在單調遞增，，即，

由此，當時，，即．

所以，當時，．

取，則，且，

又因為，

所以由零點存在性定理，存在，使得；.

當時，，即；

當時，，即；

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

故函數在上有最大值．

綜上，.