Question

設實數x，y滿足約束條件 

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為8，則

1

a2

+

1

b2

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：作出不等式組的可行域，將目標函數變形，作出直線由圖判斷出當直線平移至點A時z最大，列出方程求出ab的值，利用基本不等式求出

1

a2

+

1

b2

最小值．

解答：解：畫出不等式組

2x-y+2≥0 8x-y-4≤0 x≥0，y≥0

的可行域
將z=abx+y變形為y=-abx+z，
由圖知，當直線過A點時縱截距最大，z最大
由

2x-y+2=0 8x-y-4=0

得（1，4）代入目標函數，最大值為ab+4
所以ab+4=8
所以ab=4
∴

1

a2

+

1

b2

≥2

1 ab

=1
當且僅當a=b時取等號
故答案為1

點評：利用線性規劃求函數的最值關鍵是給目標函數幾何意義；利用基本不等式求函數的最值一定要注意滿足的條件：一正、二定、三相等．