Question

【題目】已知 Sn是數列{an}的前n項和，且Sn=2an+n﹣4．
（1）求a1的值；
（2）若bn=an﹣1，試證明數列{bn}為等比數列；
（3）求數列{an}的通項公式，并證明： + +…+ ＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an+n﹣4，

∴a1=S1=2a1+1﹣4，即a1=3

（2）證明：∵Sn=2an+n﹣4，

∴當n≥2時，Sn﹣1=2an﹣1+n﹣5，

兩式相減得：an=2an﹣2an﹣1+1，即an=2an﹣1，

變形，得：an﹣1=2（an﹣1﹣1），

由（1）可知b1=a1﹣1=2，

故數列{bn}是首項、公比均為2的等比數列

（3）證明：由（2）可知an=2n+1，

∵ = ＜ ，

∴ + +…+ ＜ + +…+ = ＜1

【解析】（1）直接令n=1代入計算即可；（2）通過Sn=2an+n﹣4與Sn﹣1=2an﹣1+n﹣5作差、變形可知an=2an﹣1，進而整理即得結論；（3）通過（2）放縮可知 ＜ ，進而利用等比數列的求和公式計算即得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比關系的確定(等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷)．