Question

如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞

1

2

）米．上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和CD平行的伸縮橫桿．
（1）設MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風窗EMN的通風面積S（平方米）表示成關于x的函數S=f（x）；
（2）當MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風窗EMN的通風面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

分析：（1）如圖當通風窗在CD下方時，即0≤x＜

1

2

時，由平面幾何知識，得

MN-1

2a-1

=

x

1 2

，可得MN=2（2a-1）x+1，再由三角形面積公式建立面積模型．當通風窗在CD的上方時，即

1

2

＜x＜a+

1

2

時，則MN=2

a2-(x- 1 2 )2

，再由三角形面積公式建立面積模型．，
（2）根據分段函數，分別求得每段上的最大值，最后取它們當中最大的，即為原函數的最大值，并明確取值的狀態，從而得到實際問題的建設方案．

解答：解：（1）當0≤x＜

1

2

時，由平面幾何知識，得

MN-1

2a-1

=

x

1 2

．
∴MN=2（2a-1）x+1，
∴S=f（x）=-(2a-1)x2+(a-1)x+

1

4

．（3分）
當

1

2

＜x＜a+

1

2

時，S=f(x)=

1

2

•2

a2-(x- 1 2 )2

•(x-

1

2

)
=

a2-(x- 1 2 )2

•(x-

1

2

)，
∴S=f(x)=

-(2a-1)x2+(a-1)x+ 1 4  x∈ [0 1 2 ) a2-(x- 1 2 )2 •(x- 1 2 )，x∈( 1 2 ，a+ 1 2 ).

（5分）
（2）當0≤x＜

1

2

時，S=f（x）=-(2a-1)x2+(a-1)x+

1

4

．
∵a＞

1

2

，
∴

a-1

2(2a-1)

-

1

2

=

-a

2(2a-1)

＜0，
∴

a-1

2(2a-1)

＜

1

2

．
①

1

2

＜a≤1，當x=0時，[f(x)]max=f(0)=

1

4

．
②a＞1，當x=

a-1

2(2a-1)

時，[f(x)]max=f[

a-1

2(2a-1)

]=

a2

4(2a-1)

．（7分）
當

1

2

＜x＜a+

1

2

時，S=f(x)=

1

2

•2

a2-(x- 1 2 )2

•(x-

1

2

)
=

a2-(x- 1 2 )2

•(x-

1

2

)=

(x- 1 2 )2[a2-(x- 1 2 )2]

≤

(x- 1 2 )2+[a2-(x- 1 2 )2]

2

=

1

2

a2，
等號成立?(x-

1

2

)2=a2-(x-

1

2

)2?x=

1

2

(

2

a+1)∈(

1

2

，a+

1

2

)．
∴當x=

1

2

(

2

a+1)時，[f(x)]max=

a2

2

．（10分）
當

1

2

＜a≤1時，∵

a2

2

-

1

4

=

1

2

(a+

2

2

)(a-

2

2

)，
∴

1

2

＜a≤

2

2

時．當x=0，[f(x)]max=f(0)=

1

4

，

2

2

＜a≤1時，
當x=

1

2

(

2

a+1)，[f(x)]max=

a2

2

．（12分）
a＞1時，

1

2

a2-

a2

4(2a-1)

=

4a-3

4(2a-1)

a2＞0．
當x=

1

2

(

2

a+1)時，[f(x)]max=

a2

2

．
綜上，

1

2

＜a≤

2

2

時，當x=0時，[f(x)]max=f(0)=

1

4

，
即MN與AB之間的距離為0米時，三角通風窗EMN的通風面積最大，最大面積為

1

4

平方米．a＞

2

2

時，
當x=

1

2

(

2

a+1)時，[f(x)]max=

a2

2

，即MN與AB之間的距離為x=

1

2

(

2

a+1)米時，
三角通風窗EMN的通風面積最大，最大面積為

1

2

a2平方米．（16分）

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，主要涉及了平面圖形中的相似比，三角形面積公式，分段函數求最值以及二次函數法，基本不等式法，作差法等解題方法．