Question

【題目】定義：如果存在實常數a和b，使得函數總滿足，我們稱這樣的函數是“型函數”.請解答以下問題：

（1）已知函數是“型函數”，求p和b的值；

（2）已知函數是“型函數”，求一組滿足條件的k、m和a的值，并說明理由.

（3）已知函數是一個“型函數”，且，是增函數，若是在區間上的圖像上的點，求點M隨著變化可能到達的區域的面積的大小，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1） （2），，，理由見解析 （3）M點在不等式（時等號不成立）所表示的區域內，面積為4，證明見解析

【解析】

(1)由函數是“型函數”，則有，將函數表達式代入可求出的值.
(2)先證明的圖像是關于對稱的，然后根據是“型函數”求出一組滿足條件的k、m和a的值即可.
(3)由函數是一個“型函數”，且，是增函數，可得M點在不等式（時等號不成立）所表示的區域內，在證明其充要性.

（1）解：，

所以，即

（2）解：設

注意到的圖像是軸對稱圖形，的對稱軸是，證明如下，

因為，
即；

，
于是，，此時.

（3）解：M點在不等式（時等號不成立）所表示的區域內；

所以在的面積為

下面證明：

M點在不等式（時等號不成立）所表示的區域內；

，，時，，滿足

由單調遞增，得到時；當時.

當時，，所以，所以，

此時，，所以滿足

當時，，所以，所以

此時，，所以滿足

即M點在不等式（時等號不成立）所表示的區域內

（B）證明：M點可為（時等號不成立）所表示的區域內任意點.

存在函數，此時，

其中，此時是增函數，并滿足.

讓k在區間變化，圖像充滿（時等號不成立）所在區域

由A、B得：M運動區域是（時等號不成立）所在區域.