Question

【題目】已知數列滿足a1＝m，an＋1＝ (k∈N*，r∈R)，其前n項和為.

(1)當m與r滿足什么關系時，對任意的n∈N*，數列{an}都滿足an＋2＝an?

(2)對任意實數m，r，是否存在實數p與q，使得{a2n＋1＋p}與{a2n＋q}是同一個等比數列.若存在，請求出p，q滿足的條件；若不存在，請說明理由；

(3)當m＝r＝1時，若對任意的n∈N*，都有Sn≥λan，求實數λ的最大值.

Answer 1

【答案】（1）m＋r＝0；（2）見解析；（3）1.

【解析】試題分析：（1）由a3＝a1，得m＋r＝0，再證m＋r＝0滿足題意即可；

（2）依題意，a2n＋1＝a2n＋r＝2a2n－1＋r，則a2n＋1＋r＝2(a2n－1＋r)，當m＋r≠0時，{a2n＋1＋r}是等比數列，由題意可得p＝r，q＝2r，若m＋r＝0，則不存在實數p，q，使得{a2n＋1＋p}與{a2n＋q}是等比數列；

（3）當m＝r＝1時，由(2)可得a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2，由分組求和得

試題解析：

(1)由題意得a1＝m，a2＝2a1＝2m，a3＝a2＋r＝2m＋r，

由a3＝a1，得m＋r＝0.

當m＋r＝0時，因為an＋1＝ (k∈N*)，

所以a1＝a3＝…＝m，a2＝a4＝…＝2m，故對任意的n∈N*，數列{an}都滿足an＋2＝an. 當n＝2k時，Sn＝3(2k＋1－k－2)，再由的單調性求最小值即可得λ≤，當n＝2k－1時，Sn＝S2k－a2k＝2k＋2－3k－4，再由的單調性求最小值即可得λ≤，從而得解.

即當實數m，r滿足m＋r＝0時，符合題意.

(2)存在.依題意，a2n＋1＝a2n＋r＝2a2n－1＋r，

則a2n＋1＋r＝2(a2n－1＋r)，

因為a1＋r＝m＋r，

所以當m＋r≠0時，{a2n＋1＋r}是等比數列，且a2n＋1＋r＝(a1＋r)2n＝(m＋r)2n.

為使{a2n＋1＋p}是等比數列，則p＝r.

同理，當m＋r≠0時，a2n＋2r＝(m＋r)2n，{a2n＋2r}是等比數列，欲使{a2n＋q}是等比數列，則q＝2r.

綜上所述，

①若m＋r＝0，則不存在實數p，q，使得{a2n＋1＋p}與{a2n＋q}是等比數列；

②若m＋r≠0，則當p，q滿足q＝2p＝2r時，{a2n＋1＋p}與{a2n＋q}是同一個等比數列.

(3)當m＝r＝1時，由(2)可得a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2，

當n＝2k時，an＝a2k＝2k＋1－2，

Sn＝S2k＝(21＋22＋…＋2k)＋(22＋23＋…＋2k＋1)－3k

＝3(2k＋1－k－2)，所以＝3.

令ck＝，

則ck＋1－ck＝－＝＜0，

所以≥，即λ≤.

當n＝2k－1時，an＝a2k－1＝2k－1，

Sn＝S2k－a2k＝3(2k＋1－k－2)－(2k＋1－2)＝2k＋2－3k－4，

所以＝4－，同理可得≥1，即λ≤1.

綜上所述，實數λ的最大值為1.