Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD交⊙O于點E，連接AC、BC、OC、CE，延長AB交CD于F．
（1）證明：BC=CE；
（2）證明：△BCF～△EAC．

Answer 1

考點：相似三角形的性質,與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）先證明OC⊥CD，可得OC∥AD，∠OCA=∠CAE，再證明∠OAC=∠OCA，可得∠OAC=∠CAE，即可證明BC=CE；
（2）證明△BCF～△EAC，只需證明∠FCB=∠CAE，∠FBC=∠CEA即可．

解答： 證明：（1）∵CD為圓O的切線，C為切點，AB為圓O的直徑，
∴OC⊥CD…（1分）
又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠CAE…（3分）
又OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAE，∴BC=CE…（5分）
（2）由弦切角定理可知，∠FCB=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAE，
∵四邊形ABCE為圓O的內接四邊形，
∴∠ABC+∠CEA=180°…（8分）
又∠ABC+∠FBC=180°，
∴∠FBC=∠CEA，
∴△BCF∽△EAC…（10分）

點評：本題考查三角形相似的證明，考查圓的切線的性質，考查弦切角定理，比較基礎．