Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin

C

2

=

10

4

（1）求cosC的值：
（2）若△ABC的面積為△，且sin²A+sin²B=

13

16

sin²C，求△ABC的周長．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數的求值,解三角形

分析：（1）由二倍角公式及已知即可代入求值．
（2）由正弦定理化簡已知可得：a²+b²=

13

16

c²；由余弦定理得：a²+b²-c²=2abcosC，可解得ab=

3

8

c²；由S_△ABC=

3 15

4

及sinC=

1-cos2C

=

15

4

，可解得ab=6，聯立方程即可解得a，b，c的值，從而可求周長．

解答： 解：（1）∵sin

C

2

=

10

4

，
∴cosC=1-2sin²

C

2

=-

1

4

．
（2）∵sin²A+sin²B=

13

16

sin²C，
∴由正弦定理可得：a²+b²=

13

16

c²…①
由余弦定理得：a²+b²-c²=2abcosC，可解得ab=

3

8

c²…②
由S_△ABC=

3 15

4

及sinC=

1-cos2C

=

15

4

，可解得ab=6…③
由①②③可解得：a=2，b=3，c=4或a=3，b=2，c=4．
經檢驗，滿足題意，所以△ABC的周長是9．

點評：本題主要考察了二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式的應用，屬于基礎題．