Question

【題目】已知橢圓 離心率等于，、是橢圓上的兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）是橢圓上位于直線兩側的動點.當運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值？如果為定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點

【解析】

（1）由題意列式關于a，b，c的方程組，求解可得a，b的值，則橢圓C的方程可求；

（2）設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2）將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得x1+2，同理PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得x2+2，從而得出AB的斜率為定值．

解：（1）由題意可得，解得a＝4，b，c＝2．

∴橢圓C的方程為；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），

當∠APQ＝∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，

則PB的斜率為﹣k，直線PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2），

聯立，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）2﹣48＝0．

∴．

同理直線PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2），

可得．

∴，，

，

∴AB的斜率為定值．