Question

【題目】已知橢圓的左右焦點為，過（M不過橢圓的頂點和中心）且斜率為k直線l交橢圓于兩點，與y軸交于點N，且.

（1）若直線l過點，求的周長；

（2）若直線l過點，求線段的中點R的軌跡方程；

（3）求證：為定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）根據橢圓的定義，即可求解；

（2）設直線l方程，與橢圓方程聯立，結合韋達定理，求出相交弦中點的參數方程，消去參數，即可求出結論；

（3）表示成坐標關系，將用坐標表示，直線l方程與橢圓方程聯立，消元整理為一元二次方程結合韋達定理，即可證明為定值.

（1）解：由題意橢圓的長軸長.

的周長為.

（2）由題意直線.

由得，

由題意恒成立.設，

則，

.

即（k為參數）.

消去k得點R的軌跡方程為.

（3）由得，

所以，同理，

由題意直線l的方程為，代入得

，由題意.

由韋達定理得

.

綜上可知λ為定值.