Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣lnx．

（1）求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）求函數f（x）的單調遞減區間：

（3）設函數g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]時，g（x）的最小值是3，求實數a的值．（e為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】(1) x﹣y=0．（2） (3) a=e2

【解析】試題分析：（1）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

（2）求出原函數的導函數，由導函數小于0求出自變量x在定義域內的取值范圍，則原函數的單調減區間可求．

（3）求導函數，分類討論，確定函數的單調性，利用函數g（x）的最小值是3，即可求出a的值．

解：（1）∵f（x）=x2﹣lnx

∴f′（x）=2x﹣．

∴f'（1）=1．

又∵f（1）=1，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=x﹣1．即x﹣y=0．

（2）因為函數f（x）=2x2﹣lnx的定義域為（0，+∞），

由f′（x）=2x﹣＜0，得0＜x＜．

所以函數f（x）=x2﹣lnx的單調遞減區間是（0，）．

（3）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，

①當≥e時，即0＜a≤時，g′（x）=≤0在（0，e]上恒成立，

則g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，a=（舍去），

②當0＜＜e時，即a＞時，列表如下：

由表知，g（x）min=g（）=1+lna=3，a=e2，滿足條件．

綜上，所求實數a=e2，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．