Question

【題目】（ 2013湖南）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點以及三角形頂點）處都種了一株相同品種的作物．根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收獲Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數X之間的關系如下表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．
（1）從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰 好“相近”的概率；
（2）在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：所種作物總株數N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地塊內部的作物株數為3，邊界上的作物株數為12，從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株的不同結果有 =36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結果有3+3+2=8，∴從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率為 = ；
（2）解：先求從所種作物中隨機選取一株作物的年收獲量為Y的分布列

∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）

∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可

記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數（k=1，2，3，4），則n1=2，n2=4，n3=6，n4=3

由P（X=k）= 得P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= = ，P（X=4）= =

∴所求的分布列為

Y	51	48	45	42
P

數學期望為E（Y）=51× +48× +45× +42× =46

【解析】（1）確定三角形地塊的內部和邊界上的作物株數，分別求出基本事件的個數，即可求它們恰好“相近”的概率；（2）確定變量的取值，求出相應的概率，從而可得年收獲量的分布列與數學期望．
【考點精析】利用離散型隨機變量及其分布列對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．