Question

定義：滿足對任意的正整數n，a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n都成立的數列{a_n}為“降步數列”．給出以下數列{a_n}（n∈N^*）：
①a_n=5n+3；②a_n=n²+n+1；③a_n=

n

；④a_n=2n+

1

n

；⑤a_n=

1

n2+n

；
其中是“降步數列”的有

 

（寫出所有滿足條件的序號）

Answer 1

考點：數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：對所給的五個數列，利用“降步數列”的概念，逐個進行驗證，能求出結果．

解答： 解：在①中，∵a_n=5n+3，
∴a_n+2-a_n+1=5（n+2）-5（n+1）=5，
a_n+1-a_n=5（n+1）-5n=5，
∴對任意的正整數n，a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n都成立，故①是“降步數列”；
在②中，∵a_n=n²+n+1，
∴a_n+2-a_n+1=（n+2）²+（n+2）+1-[（n+1）²+（n+1）+1]=2n+4，
a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）+1-（n²+n+1）=2n+2，
∴對任意的正整數n，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n都成立，故②不是“降步數列”；
在③中，∵a_n=

n

，
∴a_n+2-a_n+1=

n+2

-

n+1

，
a_n+1-a_n=

n+1

-

n

，
∴對任意的正整數n，a_n+2-a_n+1≤a_n+1-a_n都成立，故③是“降步數列”；
在④中，∵a_n=2n+

1

n

，
∴a_n+2-a_n+1=2（n+2）+

1

n+2

-[2（n+1）+

1

n+1

]=2+

1

n+2

-

1

n+1

，
a_n+1-a_n=2（n+1）+

1

n+1

-2n-

1

n

=2+

1

n+1

-

1

n

，
∴當n=1時，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n成立，故④不是“降步數列”；
在⑤中，∵a_n=

1

n2+n

，
∴a₃-a₂=

1

12

-

1

6

=-

1

12

，
a₂-a₁=

1

6

-

1

2

=-

1

3

，
∴當n=1時，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n成立，故⑤不是“降步數列”．
故答案為：①③．

點評：本題考查“降步數列”的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．