Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁為菱形，四邊形BCC₁B₁為矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3，∠A₁AB=60°
（1）求證：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁
（2）求直線A₁C與平面BCC₁B₁所成的角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知得B₁B⊥CB，AB⊥CB，從而CB⊥AB₁，再由A₁B⊥AB₁，能證明平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．
（2）過A₁作A₁D⊥B₁B于D，連接DC，∠A₁CD為直線A₁C與平面BCC₁B₁所成的角，由此能求出直線A₁C與平面BCC₁B₁所成的角的正切值．

解答： （1）證明：∵四邊形BCC₁B₁為矩形，∴B₁B⊥CB，
又AB⊥CB，B₁B∩AB=B
∴CB⊥面A₁ABB₁，AB₁?A₁ABB₁，
∴CB⊥AB₁，
∵四邊形A₁ABB₁為菱形，∴A₁B⊥AB₁，且CB∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁CB，∵AB₁?平面A₁ABB₁，
∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．
（2）解：過A₁作A₁D⊥B₁B于D，連接DC，∵BC⊥平面A₁ABB₁，
∴BC⊥A₁D．∵BC∩BB₁=B，∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，
故∠A₁CD為直線A₁C與平面BCC₁B₁所成的角．
在矩形BCC₁B₁中，DC=

13

，．
∵四邊形A₁ABB₁是菱形，∠A₁AB=60°，
AB=4，∴A₁D=2

3

，
∴tan∠A₁CD=

A1D

CD

=

2 3

13

=

2 39

13

．

點評：本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養．