Question

【題目】經(jīng)過(guò)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，我們知道：“函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱圖形”的充要條件是“為偶函數(shù)”.

（1）若為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式，并求不等式的解集；

（2）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組針對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行探究，得到一個(gè)真命題：“函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形”的充要條件是“為偶函數(shù)”.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.

（i）求的解析式；

（ii）求不等式的解集.

Answer 1

【答案】(1) 不等式的解集是或．(2) ,（ii）不等式的解集為．

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性得出在上的解析式，再列出不等式得出不等式的解集；

（2）根據(jù)是偶函數(shù)得出在上的解析式，（ii）根據(jù)單調(diào)性和對(duì)稱性列不等式得出解集．

（1）設(shè)，則，則，

又為偶函數(shù)，所以．

所以.

因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，且在，上是減函數(shù)，

所以等價(jià)于，

即，解得或．

所以不等式的解集是或．

（2）因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，

所以，即對(duì)任意恒成立．

又當(dāng)時(shí)，，

所以．

所以

任取，，，且，則，

因?yàn)?/span>，所以，又，，

所以，即．

所以函數(shù)在，上是增函數(shù)，

又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，

所以等價(jià)于，

即，解得．

所以不等式的解集為．