Question

【題目】已知圓M：x2+（y﹣4）2=4，點(diǎn)P是直線(xiàn)l：x﹣2y=0上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）當(dāng)切線(xiàn)PA的長(zhǎng)度為 時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若△PAM的外接圓為圓N，試問(wèn)：當(dāng)P在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）求線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，圓M的半徑r=2，M（0，4），設(shè)P（2b，b），

∵PA是圓M的一條切線(xiàn)，∴∠MAP=90°，

∴ ，解得 ，

∴P（0，0）或 ．

（2）解：設(shè)P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，

其方程為 ，

即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，

由 ，解得 或 ，

∴圓過(guò)定點(diǎn)（0，4）， ．

（3）解：因?yàn)閳AN方程為 ，

即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，

圓M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，

②﹣①得：圓M方程與圓N相交弦AB所在直線(xiàn)方程為：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，

點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離 ，

相交弦長(zhǎng)即： ，

當(dāng) 時(shí)，AB有最小值 ．

【解析】（1）根據(jù)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出半徑r=2和圓心M坐標(biāo)（0，4），并可設(shè)P（2b，b），從而由條件便可求出|MP|= ，這樣便可求出b的值，即得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）容易求出圓N的圓心坐標(biāo)（b， ），及半徑，從而可得出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程，化簡(jiǎn)后可得到（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，從而可建立關(guān)于x，y的方程，解出x，y，便可得出圓N所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）可寫(xiě)出圓N和圓M的一般方程，聯(lián)立這兩個(gè)一般方程即可求出相交弦AB的直線(xiàn)方程，進(jìn)而求出圓心M到直線(xiàn)AB的距離，從而求出弦長(zhǎng) ，顯然可看出b= 時(shí)，AB取最小值，并求出該最小值．