Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率e= ，左頂點為A（﹣4，0），過點A作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E．

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P為AD的中點，是否存在定點Q，對于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出點Q的坐標；若不存在說明理由；
（3）若過O點作直線l的平行線交橢圓C于點M，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率e= ，左頂點為A（﹣4，0），

∴a=4，又 ，∴c=2．…（2分）

又∵b2=a2﹣c2=12，

∴橢圓C的標準方程為 ．

（2）解：直線l的方程為y=k（x+4），

由 消元得， ．

化簡得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，

∴x1=﹣4， ．…（6分）

當 時， ，

∴ ．

∵點P為AD的中點，∴P的坐標為 ，

則 ．…（8分）

直線l的方程為y=k（x+4），令x=0，得E點坐標為（0，4k），

假設存在定點Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，

則kOPkEQ=﹣1，即 恒成立，

∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴ ，即 ，

∴定點Q的坐標為（﹣3，0）．

（3）解：∵OM∥l，∴OM的方程可設為y=kx，

由 ，得M點的橫坐標為 ，

由OM∥l，得

=

= ，

當且僅當 即 時取等號，

∴當 時， 的最小值為 ．

【解析】（1）由橢圓的離心率和左頂點，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．（2）直線l的方程為y=k（x+4），與橢圓聯立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韋達定理、直線垂直，結合題意能求出結果．（3）OM的方程可設為y=kx，與橢圓聯立得M點的橫坐標為 ，由OM∥l，能求出結果．