Question

( 12分)如圖，在四棱錐中,側面是正三角形,底面是邊長為2的正方形,側面平面為的中點.

①求證：平面；
②求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

(Ⅰ)證明:見解析；(Ⅱ),即求.

試題分析：（Ⅰ）證明AF⊥平面PCD，利用線面垂直的判定定理，只需證明AF⊥PD，CD⊥AF即可；
（Ⅱ）證明∠PBF為直線PB與平面ABF所成的角，求出PF，BF的長，即可得出結論．
(Ⅰ)證明:如圖,由是正三角形,為中點,所以,又因為平面平面,

且面面;
又底面為正方形,即
所以平面,而平面,
所以,且,
所以平面.………………6分;
(Ⅱ)由(Ⅰ)證明可知,平面,
所以平面
所以,又由(Ⅰ)知,且,
所以平面,
即為直線與平面所成的角…………………9分
且,易知,中,,
所以,即求.………………12分
點評：解題的關鍵是正確運用線面垂直的判定，作出線面角.