Question

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個邊長為的正三角形，，為的中點，為的中點．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求證：平面；
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) 詳見解析；(Ⅲ) 直線與平面所成角的正弦值為.

試題分析：（I）利用兩平面垂直的性質定理，證明BC平面AEC,再根據線面垂直的性質定理證明AEBC,根據勾股定理證明AEEC，利用線面垂直的判定定理證明AE平面BCEF;（II）三棱錐體積利用體積轉換為以E為頂點，為底面的椎體體積求得.等體積轉化，是立體幾何經常運用的一種方法，高考也考過．
試題解析：（Ⅰ）證明：設為的中點，連接，則，∵，，，∴四邊形為正方形，∵為的中點，∴為的交點，∵， ，
∵，∴，，在三角形中，，∴，∵，∴平面；

(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點，為中點，∴，∵平面，平面，∴平面.方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知得：，，，，，，則，，，.∴∴∵平面，平面，∴平面；                              

(Ⅲ) 設平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個法向量為，又
則，∴直線與平面所成角的正弦值為.