Question

（本小題滿分12分）
設函數f(x)=ax+(a,b∈Z)，曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處的切線方程為y=3。
（Ⅰ）求f(x)的解析式：
（Ⅱ）證明：函數y=f(x)的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（Ⅲ）證明：曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）證明見解析。

（Ⅰ），
于是。
解得或。
因，故。
（II）證明：已知函數都是奇函數，
所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形。
而函數。
可知，函數的圖像按向量a=(1,1)平移，即得到函數的圖象，故函數的圖像是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形。
（III）證明：在曲線上任一點。
由知,過此點的切線方程為。
令得，切線與直線交點為。
令得，切線與直線交點為。
直線與直線的交點為(1,1)。
從而所圍三角形的面積為。
所以，所圍三角形的面積為定值2。