Question

【題目】已知數列是由正整數組成的無窮數列.若存在常數，使得任意的成立，則稱數列具有性質.

（1）分別判斷下列數列是否具有性質； (直接寫出結論)

①

②

（2）若數列滿足，求證:“數列具有性質”是“數列為常數列”的充分必要條件；

（3）已知數列中且.若數列具有性質，求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）①時，數列具有性質；②時，數列不具有性質.（2）證明見解析（3）.

【解析】

（1）代入驗證即可得.

（2）充分性: 由及數列具有性質可得；必要性：數列為常數列，所以可證.

（3）數列具有性質，求出，由，對取值進行證明排除，得到，猜想，用反證法證明猜想成立.

（1）①時，數列具有性質.

②時，數列不具有性質.

（2），

，等號成立，當且僅當，

因為數列具有性質，即，

所以數列為常數列.

必要性：因為數列為常數列，所以，

成立，即數列具有性質.

（3）數列具有性質，，

，.

若，矛盾；

若則矛盾.

所以，

所以猜想.

證明如下：假設命題不成立，

設（ ），

考慮數列，當時具有性質，

此時，

即或，矛盾，.