Question

（本小題共12分）水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為
V（t）＝
（Ⅰ）該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期.以i-1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12）,問一年內哪幾個月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年內該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）.

Answer 1

（Ⅰ）枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個月.
(Ⅱ)一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米

解析試題分析：（1）分段求出水庫的蓄求量小于50時x的取值范圍，注意實際問題x要取整．
（2）一年內該水庫的最大蓄水量肯定不在枯水期，則V（t）的最大值只能在（4，10）內達到，然后通過導數在給定區間上研究V（t）的最大值，最后注意作答
解：（Ⅰ）①當0＜t10時，V(t)=(-t²+14t-40)化簡得t²-14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.
②當10＜t12時，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,化簡得（t-10）（3t-41）＜0,
解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12　 .綜合得0<t<4,或10<t12,
故知枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內達到.
由V′（t）= 令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
當t變化時，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

t	(4,8)	8	(8,10)
V′(t)	+	0	-
V(t)		極大值

由上表，V(t)在t＝8時取得最大值V(8)＝8e²+50-108.52(億立方米).
故知一年內該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米
考點：本題主要是考查函數、導數和不等式等基本知識，考查用導數求最值和綜合運用數學知識解決實際問題能力．
點評：解決該試題的關鍵是一元二次不等式的求解以及運用導數的思想來判定函數 單調性，進而得到極值，求解最值。