Question

已知f(x)=在區間[－1，1]上是增函數.

（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）{m|m≥2，或m≤－2}.

【解析】

試題分析：

思路分析：（Ⅰ）根據f(x)在[－1，1]上是增函數，可得到f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.轉化成(x)=x²－ax－2，二次函數問題。處理的方法較多。

（Ⅱ）由

從而可以得到x²－ax－2=0的兩非零實根x₁，x₂的關系，將問題轉化成

“要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立“同樣將問題轉化成二次函數問題。      

解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2  ∵f(x)在[－1，1]上是增函數，

∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(x)=x²－ax－2，

方法一：

① －1≤a≤1，

∵對x∈[－1，1]，只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

方法二：

① 或

0≤a≤1或－1≤a<0

 －1≤a≤1.

∵對x∈[－1，1]，只有當a=1時，f＇(－1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由

∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根，

∴ 

從而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

②

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

當m=0時，②顯然不成立；

當m≠0時，

②或

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

考點：函數的零點，二次函數的圖象和性質，不等式恒成立問題。

點評：中檔題，本題主要利用“轉化與化歸思想”，將問題轉化成二次函數在閉區間的最值問題，通過確定函數的最值，達到確定參數范圍的目的。