Question

已知f(x)＝在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；

(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝的兩個(gè)非零實(shí)根為x₁、x₂．試問：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²＋tm＋1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)(x)＝4＋2∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)， 　　∴(x)≥0對(duì)x∈[－1，1]恒成立， 　　即x2－ax－2≤0對(duì)x∈[－1，1]恒成立．① 　　設(shè)(x)＝x2－ax－2， 　　方法一： 　　 　　∵對(duì)x∈[－1，1]，只有當(dāng)a＝1時(shí)，f＇(－1)＝0以及當(dāng)a＝－1時(shí)，f＇(1)＝0 　　∴A＝{a|－1≤a≤1}． 　　方法二： 　　 　　∵對(duì)x∈[－1，1]，只有當(dāng)a＝1時(shí)，(－1)＝0以及當(dāng)a＝－1時(shí)，(1)＝0 　　∴A＝{a|－1≤a≤1}． 　　(Ⅱ)由 　　∵Δ＝a2＋8＞0 　　∴x1，x2是方程x2－ax－2＝0的兩非零實(shí)根， 　　 　　要使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立， 　　當(dāng)且僅當(dāng)m2＋tm＋1≥3對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立， 　　即m2＋tm－2≥0對(duì)任意t∈[－1，1]恒成立．② 　　設(shè)g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋(m2－2)， 　　方法一： 　　 　　所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}． 　　方法二： 　　當(dāng)m＝0時(shí)，②顯然不成立； 　　當(dāng)m≠0時(shí)， 　　 　　所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對(duì)任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}．

提示：

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．