Question

【題目】在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，當點在圓上運動時，點在線段上，且，點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過拋物線：的焦點作直線交拋物線于，兩點，過且與直線垂直的直線交曲線于另一點，求面積的最小值，以及取得最小值時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）,（2）9 ,

【解析】

（1）利用相關點法求軌跡方程，設，則，代入圓的方程，整理，即可.

（2）法一：分類討論，當直線的斜率不存在時，，，，當直線的斜率存在時，則，設直線的方程為，與，聯立整理，計算，設直線的方程為，與，聯立整理，計算，根據，令，則，，判斷單調性，確定時，面積最小，求解即可. 法二：設直線的方程設為，與聯立，計算，設直線的方程為與，聯立，計算，以下同法一.

（1）設，，則由于，依題知：，.即，，

而點在圓上，故，

得，故曲線的方程為.

（2）法一：拋物線的焦點為，

當直線的斜率不存在時，，，，

當直線的斜率存在時，則，設，，

直線的方程設為，代入，

消去得，即，

則，，

∴，

的直線方程為：，代入，

消去得，，

，

，，

，

面積：，

令，則，則，

，

令，則，即，當時，為減函數，當時，為增函數，所以時，面積最小．

由得時，面積的最小值為，

此時直線的方程為：，即．

法二：拋物線的焦點為，

過點的直線的方程設為：，設，，

聯立得.則，，

∴，

過且與直線垂直的直線設為：，

聯立得，，

，．

∴，

面積．

令，則，，

令，則，即，當時，為減函數，當時，為增函數，所以時，面積最小．

由得時，面積的最小值為9，

此時直線的方程為：，即．